Question

2．已知公差不為0的等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，滿足a₂，a₃，a₅成等比數(shù)列，S₆=45．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和S_n；
（Ⅱ）令p_n=$\frac{{S}_{n+2}}{{S}_{n+1}}$+$\frac{n-1}{n+1}$，是否存在正整數(shù)M，使不等式p₁+p₂+…+p_n-2n≤M 恒成立，若存在，求出M的最小值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）通過設(shè)公差為d，利用${{a}_{3}}^{2}$=a₂a₅、S₆=45得a₂=d=3，進(jìn)而可得結(jié)論；
（2）由（1）計(jì)算可得p_n=2+$\frac{2}{n}$-$\frac{2}{n+1}$，并項(xiàng)相加可得p₁+p₂+…+p_n-2n=2-$\frac{2}{n+1}$，進(jìn)而可得結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)公差為d，由已知，得${{a}_{3}}^{2}$=a₂a₅，
即$（{a}_{2}+2d）^{2}$=a₂（a₂+3d），解得a₂=d，
由S₆=45得2a₂+3d=15，∴a₂=d=3，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n=3n-3，
前n項(xiàng)和S_n=$\frac{3n（n-1）}{2}$；
（2）結(jié)論：存在最小的正整數(shù)M=2，使不等式p₁+p₂+…+p_n-2n≤M恒成立．
理由如下：
p_n=$\frac{{S}_{n+2}}{{S}_{n+1}}$+$\frac{n-1}{n+1}$=$\frac{\frac{3（n+2）（n+1）}{2}}{\frac{3n（n+1）}{2}}$+$\frac{n-1}{n+1}$=2+$\frac{2}{n}$-$\frac{2}{n+1}$，
∴p₁+p₂+…+p_n-2n=2（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=2-$\frac{2}{n+1}$．
由n為整數(shù)，可得p₁+p₂+…+p_n-2n＜2，
故存在最小的正整數(shù)M=2，使不等式p₁+p₂+…+p_n-2n≤M恒成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查求數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，判定和的取值范圍，注意解題方法的積累，屬于中檔題．