Question

已知sinθ+cosθ=，求sinθ、cosθ、tanθ的值.

Answer 1

思路點(diǎn)撥：本題根據(jù)sinθ+cosθ=來(lái)求sinθ、cosθ、tanθ，實(shí)際隱含了sin²α+cos²α=1和=tanα兩個(gè)關(guān)系式，我們可以根據(jù)三角函數(shù)式的恒等變形，運(yùn)用sinθ和cosθ的平方關(guān)系式用一元二次方程求解.

解：∵sinθ+cosθ=,∴(sinθ+cosθ)²=,即sinθcosθ=-.

又(sinθ-cosθ)²=1-2sinθcosθ=,

∵sinθcosθ＜0,0＜θ＜π,

∴sinθ＞0,cosθ＜0,sinθ-cosθ＞0.

∴sinθ-cosθ=.又sinθ+cosθ=,

∴sinθ=,cosθ=-.

∴tanθ==-.

［一通百通］ 對(duì)于這類利用已知α的一個(gè)三角函數(shù)值或者幾種三角函數(shù)值之間的關(guān)系及α所在的象限，求其他三角函數(shù)值的問(wèn)題，我們可以利用平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系求解.在利用公式=tanα?xí)r，符號(hào)取自然運(yùn)算符號(hào)；而利用sin²α+cos²α=1求sinθ、cosθ進(jìn)行開方運(yùn)算時(shí)，要注意符號(hào)的選取.