Question

1．已知點(diǎn)A（2，4），B（4，-1），C（1，y）．$\overrightarrow{BD}$=（-1，2）
（1）求D點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）若AC⊥BD．求y的值；
（3）求cos＜$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AD}$＞．

Answer 1

分析 （1）設(shè)D（m，n），根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可求出，
（2）根據(jù)向量垂直的條件即可求出，
（3）根據(jù)向量的夾角公式即可求出．

解答 解：（1）設(shè)D（m，n），
∵B（4，-1），$\overrightarrow{BD}$=（-1，2），
∴m-4=-1，n+1=2，
∴m=3，n=1，
∴D（3，1），
（2）∵A（2，4），B（4，-1），C（1，y），$\overrightarrow{BD}$=（-1，2）
∴$\overrightarrow{AC}$=（-1，y-4），
∵AC⊥BD，
∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}$=-1×（-1）+2（y-4）=0，
∴y=$\frac{7}{2}$，
（3）由（1）可知$\overrightarrow{AD}$=（1，-3），$\overrightarrow{AB}$=（2，-5），
∴|$\overrightarrow{AD}$|=$\sqrt{10}$，$\overrightarrow{AB}$=$\sqrt{29}$，$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AB}$=1×2+（-3）×（-5）=17，
∴cos＜$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AD}$＞=$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}}{|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow{AD}|}$=$\frac{17}{\sqrt{10}•\sqrt{29}}$=$\frac{17\sqrt{290}}{290}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量的數(shù)量積的運(yùn)算以及向量垂直的條件，屬于基礎(chǔ)題．