Question

15．設函數f（x）=a²x²（a＞0），$g（x）=\sqrt{9-{{（x-b）}^2}}$．
（1）若函數y=f（x）圖象上的點到直線x-y-3=0距離的最小值為$\sqrt{2}$，求a的值；
（2）關于x的不等式（x-1）²＞f（x）的解集中的整數恰有3個，求實數a的取值范圍；
（3）對于函數f（x）與g（x）定義域上的任意實數x，若存在常數k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，則稱直線y=kx+m為函數f（x）與g（x）的“分界線”．設$a=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，$b=\frac{{5\sqrt{3}}}{2}$，試探究f（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）直接運用點到直線的距離公式，然后求解即可得到答案；
（2）關于由不等式解集整數的個數，然后求未知量取值范圍的題目，可利用恒等變換，把它轉化為求函數零點的問題，即可求得a的范圍；
（3）分別畫出f（x），g（x）的圖象，再令f（x）=g（x），求得交點，求出與y=f（x）相切的直線，檢驗是否與y=g（x）也相切，即可得到所求分界線．

解答 解：（1）因為f（x）=a²x²，
所以f′（x）=2a²x，令f′（x）=2a²x=1，
得：x=$\frac{1}{2{a}^{2}}$，此時y=$\frac{1}{4{a}^{2}}$，
則點（$\frac{1}{2{a}^{2}}$，$\frac{1}{4{a}^{2}}$）到直線x-y-3=0的距離為$\sqrt{2}$，
即$\frac{|\frac{1}{2{a}^{2}}-\frac{1}{4{a}^{2}}-3|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，解之得a=$\frac{1}{2}$或$\frac{\sqrt{5}}{10}$；
（2）不等式（x-1）²＞f（x）的解集中的整數恰有3個，
等價于（1-a²）x²-2x+1＞0恰有三個整數解，故1-a²＜0，
令h（x）=（1-a²）x²-2x+1，由h（0）=1＞0且h（1）=-a²＜0（a＞0），
所以函數h（x）=（1-a²）x²-2x+1的一個零點在區(qū)間（0，1），
則另一個零點一定在區(qū)間（-3，-2），
這是因為此時不等式解集中有-2，-1，0恰好三個整數解．
故$\left\{\begin{array}{l}{h（-2）＞0}\\{h（-3）≤0}\end{array}\right.$，即為$\left\{\begin{array}{l}{4（1-{a}^{2}）+5＞0}\\{9（1-{a}^{2}）+7≤0}\end{array}\right.$，解之得$\frac{4}{3}$≤a＜$\frac{3}{2}$；
（3）分別作出函數f（x）=$\frac{1}{2}$x²，g（x）=$\sqrt{9-（x-\frac{5\sqrt{3}}{2}）^{2}}$的圖象，
發(fā)現它們有一個交點．
令f（x）=g（x），可得$\frac{1}{4}$x⁴+（x-$\frac{5\sqrt{3}}{2}$）²=9，
解得x=$\sqrt{3}$，交點為（$\sqrt{3}$，$\frac{3}{2}$），
可設與y=f（x）相切的直線l方程為y-$\frac{3}{2}$=k（x-$\sqrt{3}$），
由f（x）的導數f′（x）=x，
可得切線的斜率為k=$\sqrt{3}$，
則切線l的方程為$\sqrt{3}$x-y-$\frac{3}{2}$=0，
又g（x）的圖象是（$\frac{5}{2}$$\sqrt{3}$，0）為圓心，3為半徑的上半圓．
由圓心到直線l的距離為d=$\frac{|\sqrt{3}•\frac{5\sqrt{3}}{2}-\frac{3}{2}|}{\sqrt{3+1}}$=3，
則直線l也與y=g（x）的圖象相切．
則直線y=$\sqrt{3}$x-$\frac{3}{2}$即為f（x）、g（x）的分界線．

點評 此題主要考查點到直線距離公式的應用及不等式的解法，此類型的題目需要仔細分析再求解，綜合性較強，有一定的技巧性．