Question

（2008•武漢模擬）若△ABC的兩條中線的長度分別為6，3，則△ABC面積的最大值為

12

．

Answer 1

分析：根據題意畫出圖形，由AD和BE都為三角形的中線，得到F為重心，從而由AD及BE的長得到AF，BF及EF的長，設∠AFB=α，可得∠AFE=π-α，根據E為AC的中點，得到三角形ABE與三角形BEC的面積相等，三角形ABC的面積等于2倍三角形ABE的面積，而三角形ABE的面積等于三角形ABF的面積與三角形AFE的面積之和，由求出的AF，BF及EF，還有設出的角度，利用三角形的面積公式表示出三角形ABC的面積，利用誘導公式化簡，合并后，根據正弦函數的值域得到其面積小于等于12，且當α=90°，即兩中線垂直時，三角形ABC面積最大，最大值為12．

解答：
解：如圖，中線AD=6，BE=3，
則AF=4，BF=2，EF=1，
設∠AFB=α，
∴S_△ABC=2S_△ABE=2（S_△ABF+S_△AEF）
=2[

1

2

AF•BF•sinα+

1

2

AF•EF•sin（π-α）]
=8sinα+4sinα
=12sinα≤12，
則當α=90°，即兩中線垂直時，S_△ABC的最大值為12．
故答案為：12

點評：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識有三角形的中位線定理，三角形的面積公式，以及正弦函數的值域，根據題意畫出相應的圖形，由等底同高得到中線把三角形面積平分是解本題的關鍵．