Question

設(shè)S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n=λa_n-1（λ，為常數(shù)，n=1，2，3…）．
（1）若，求λ的值；
（2）是否存在實數(shù)λ，使得數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列？若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由；
（3）當(dāng)λ=2量，若數(shù)列{c_n}滿足b_n+1=a_n+b_n（n=1，2，3，…），且，令，求數(shù)列{a_n}的前n項和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）由S_n=λa_n-1，知，，，再由，能求出λ的值．
（2）假設(shè)存在實數(shù)λ，使得數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，則2a₂=a₁+a₃，故，由此能夠推導(dǎo)出不存在實數(shù)λ，使得數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列．
（3）當(dāng)λ=2時，S_n=2a_n-1，故S_n-1=2a_n-1-1，n≥2，且a₁=1，所以，n∈N^*．由b_n+1=a_n+b_n（n=1，2，3，…），且，導(dǎo)出，n∈N^*，所以=2（），由此利用裂項求和法能求出數(shù)列{a_n}的前n項和T_n．
解答：解：（1）∵S_n=λa_n-1，
∴a₁=λa₁-1，
a₂+a₁=λa₂-1，
a₃+a₂+a₁=λa₃-1，
由a₁=λa₁-1，得λ≠1，
∴，，，
∴，∴，
∴λ=0，或λ=2．
（2）假設(shè)存在實數(shù)λ，使得數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，
則2a₂=a₁+a₃，
由（1）得，
∴，解得1=0，不成立，
∴不存在實數(shù)λ，使得數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列．
（3）當(dāng)λ=2時，S_n=2a_n-1，
∴S_n-1=2a_n-1-1，n≥2，且a₁=1，
∴a_n=2a_n-2a_n-1，即a_n=2a_n-1，n≥2，
∴，n∈N^*．
∵b_n+1=a_n+b_n（n=1，2，3，…），且，
∴b_n=a_n-1+b_n-1
=a_n-1+a_n-2+b_n-2
=…=a_n-1+a_n-2+…+a₁+b₁
=
=，n≥2
當(dāng)n=1時，上式仍然成立，
∴，n∈N^*，
∵，
∴
=．
=2（），
∴T_n=c₁+c₂+…+c_n
=2（
=1-
=．
點評：本題考查滿足條件的實數(shù)值的求法，考查等差數(shù)列的判斷，考查數(shù)列的前n項和的求法．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意裂項求和法的合理運用．