Question

已知數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，S_n表示該數(shù)列前n項(xiàng)的和，且對(duì)任意正整數(shù)n，恒有2S_n=a_n（a_n+1），設(shè)bn=

n

i=1

1

an+i

．
（1）求a₁；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）求數(shù)列{b_n}的最小項(xiàng)．

Answer 1

分析：（1）n=1時(shí)，2S₁=a₁（a₁+1），由 S₁=a₁，a₁＞0，解得a₁  的值．
（2）n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，把2S_n=a_n（a_n+1），2S_n-1=a_n-1（a_n-1+1），作差可得a_n-a_n-1=1，對(duì)n≥2時(shí)恒成立，因此數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，故a_n=n．
（3）根據(jù)b_n+1-b_n=

n+1

i=1

1

n+1+i

-

n

i=1

1

n+i

=

1

2n+1

-

1

2n+2

=

1

(2n+1)(2n+2)

＞0，對(duì)任意正整數(shù)n恒成立，可得數(shù)列{b_n}為遞增數(shù)列，故數(shù)列{b_n}的最小項(xiàng)為b1=

1

2

．

解答：解：（1）n=1時(shí)，2S₁=a₁（a₁+1），S₁=a₁，a₁＞0，解得a₁=1．
（2）n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，2S_n=a_n（a_n+1），2S_n-1=a_n-1（a_n-1+1），
作差得 2a_n=a_n（a_n+1）-a_n-1（a_n-1+1），整理得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，∵a_n＞0，∴a_n+a_n-1≠0，
∴a_n-a_n-1=1，對(duì)n≥2時(shí)恒成立，因此數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，故a_n=n．
（3）∵bn=

n

i=1

1

an+i

=

n

i=1

1

n+i

，∴b_n+1-b_n=

n+1

i=1

1

n+1+i

-

n

i=1

1

n+i

=

1

2n+1

+

1

2n+2

-

1

n+1

 
=

1

2n+1

-

1

2n+2

=

1

(2n+1)(2n+2)

＞0，對(duì)任意正整數(shù)n恒成立，
∴數(shù)列{b_n}為遞增數(shù)列，∴數(shù)列{b_n}的最小項(xiàng)為b1=

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式，判斷一個(gè)數(shù)列是遞增數(shù)列的方法，求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，是解題的關(guān)鍵．