Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1，(a＞b＞0)的離心率e=

2

2

，過(guò)焦點(diǎn)垂直于長(zhǎng)袖的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為

2

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）斜率為k的直線l與橢圓C交于P、Q兩點(diǎn)，

OP

•

OQ

=0（0為坐標(biāo)原點(diǎn)），試求直線l在y軸上截距的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由橢圓的離心率e=

2

2

，由焦點(diǎn)垂直于長(zhǎng)袖的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為

2

得到

2b2

a

=

2

，結(jié)合a²=b²+c²即可
求得a²=2，b²=1，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）設(shè)出直線方程y=kx+n，和橢圓方程聯(lián)立后得到關(guān)于x的一元二次方程，由判別式大于0得到關(guān)于k和n的不等式，
由根與系數(shù)關(guān)系得到x1+x2=

-4km

2k2+1

，x1x2=

2n2-2

2k2+1

．代入

OP

•

OQ

=0得到k與n的等式，把k用n表示后代入不等式即可求出n的范圍．

解答：解（Ⅰ）依題意，

c

a

=

2

2

，

2b2

a

=

2

，a²=b²+c²．
聯(lián)立解得a²=2，b²=1．
所以橢圓方程為

x2

2

+y2=1；
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y=kx+n，由

y=kx+n x2 2 +y2=1

，得
（2k²+1）x²+4knx+2n²-2=0．
則△=16k²n²-8（n²-1）（2k²+1）＞0，即2k²-n²+1＞0①
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x1+x2=

-4km

2k2+1

，x1x2=

2n2-2

2k2+1

．
由

OP

•

OQ

=0可得x₁x₂+y₁y₂=0，即x₁x₂+（kx₁+n）（kx₂+n）=0．
整理可得(k2+1)x1x2+kn(x1+x2)+n2=0．
即

(k2+1)(2n2-2)

2k2+1

+kn•(

-4kn

2k2+1

)+n2=0．
化簡(jiǎn)可得3n²=2k²+2，代入①整理可得n2＞

1

2

，
所以n＜-

2

2

或n＞

2

2

．
故直線l在y軸上的截距的取值范圍是（-∞，-

2

2

）∪（

2

2

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，訓(xùn)練了一元二次方程中根與系數(shù)關(guān)系的運(yùn)用，是中檔題．