Question

（2012•咸陽三模）已知函數(shù)f（x）=ax+lnx（a∈R）．
（1）若a=2，求曲線y=f（x）在x=1處切線的斜率；
（2）當(dāng)a＜0時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）設(shè)g（x）=x²-2x+2，若對任意x₁∈（0，+∞），均存在x₂∈[0，1]，使得f（x₁）＜g（x₂），求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可求曲線y=f（x）在x=1處切線的斜率；
（2）求導(dǎo)函數(shù)，在區(qū)間(0，-

1

a

)上，f'（x）＞0；在區(qū)間(-

1

a

，+∞)上，f'（x）＜0，故可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）由已知轉(zhuǎn)化為f（x）_max＜g（x）_max，可求g（x）_max=2，f（x）最大值-1-ln（-a），由此可建立不等式，從而可求a的取值范圍．

解答：解：（1）由已知f′(x)=2+

1

x

 (x＞0)，…（2分）
∴f'（1）=2+1=3．
故曲線y=f（x）在x=1處切線的斜率為3．…（4分）
（2）求導(dǎo)函數(shù)可得f′(x)=a+

1

x

=

ax+1

x

(x＞0)．…（5分）
當(dāng)a＜0時，由f'（x）=0，得x=-

1

a

．
在區(qū)間(0，-

1

a

)上，f'（x）＞0；在區(qū)間(-

1

a

，+∞)上，f'（x）＜0，
所以，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，-

1

a

)，單調(diào)遞減區(qū)間為(-

1

a

，+∞)…（10分）
（3）由已知轉(zhuǎn)化為f（x）_max＜g（x）_max．
∵g（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1，x₂∈[0，1]，∴g（x）_max=2…（11分）
由（2）知，當(dāng)a≥0時，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，值域為R，故不符合題意．
（或者舉出反例：存在f（e³）=ae³+3＞2，故不符合題意．）
當(dāng)a＜0時，f（x）在(0，-

1

a

)上單調(diào)遞增，在(-

1

a

，+∞)上單調(diào)遞減，
故f（x）的極大值即為最大值，f(-

1

a

)=-1+ln(

1

-a

)=-1-ln(-a)，
所以2＞-1-ln（-a），所以ln（-a）＞-3，
解得a＜-

1

e3

．…（14分）

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查求參數(shù)的值，解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為f（x）_max＜g（x）_max．