Question

設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若acosB+bcosA=4cosC，且c=2，則△ABC面積的最大值為（　�。�

• A、

  3

• B、

  2

• C、2
• D、2

  2

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),正弦定理

專題：解三角形

分析：利用正弦定理把題設(shè)中關(guān)于邊的等式轉(zhuǎn)換成角的正弦，進(jìn)而利用兩角和公式化簡整理求得cosC，進(jìn)而求得C．根據(jù)余弦定理求得a和b的不等式關(guān)系，進(jìn)而利用三角形面積公式表示出三角形的面積，利用a和b的不等式關(guān)系求得三角形面積的最大值．

解答： 解：∵acosB+bcosA=4cosC，且c=2，
∴由題意及正弦定理可得：sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC，
即sinC=2sinCcosC，故cosC=

1

2

，
可解得：sinC=

3

2

，
可得：cosC=

1

2

=

a2+b2-4

2ab

，
∴ab=a²+b²-4≥2ab-4，即ab≤4，等號(hào)當(dāng)a=b時(shí)成立，
∴可得：S_△ABC=

1

2

absinC≤

3

．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了余弦定理的應(yīng)用，正弦定理的應(yīng)用，兩角和公式的化簡求值，屬于基本知識(shí)的考查．