Question

線段AB的兩個端點分別為A（3，0），B（0，3），若拋物線y=x²-2ax+a²+1與線段AB有兩個不同交點，試求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：由題意可求線段AB所在的直線的解析式為y=-x+3（0≤x≤3），由拋物線與線段所在的線段y=-x+3（0≤x≤3）有兩個不同的交點，可得方程x²+（1-2a）x+a²-2=0，在[0，3]上應(yīng)該有兩個不相等的實數(shù)根即f（x）=x²+（1-2a）x+a²-2在[0，3]與x軸上有2個交點，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求

解答：解：設(shè)線段AB所在的直線的解析式為y=kx+b，
分別把（3，0），（0，3）代入可得，0=3k+b，3=b
解得k=-1，b=3
所以，線段AB所在的直線的解析式為y=-x+3（0≤x≤3）
聯(lián)立y=-x+3，y=x²-2ax+a²+1，得x²+（1-2a）x+a²-2=0，
因為拋物線與線段所在的線段y=-x+3（0≤x≤3）有兩個不同的交點，
所以方程x²+（1-2a）x+a²-2=0，在[0，3]上應(yīng)該有兩個不相等的實數(shù)根
令f（x）=x²+（1-2a）x+a²-2
∴

△=(1-2a)2-4(a2-2)＞0 0＜ 2a-1 2 ＜3 f(0)=a2-2≥0 f(3)=a2-6a+10≥0

∴

a＜ 9 4 1 2 ＜a＜ 7 2 a≥ 2 或a≤- 2 a∈R

∴

2

≤a＜

9

4

點評：本題主要考查了直線與曲線的相交關(guān)系的應(yīng)用，解題中要注意解題中的x的范圍限制．