Question

1．如圖所示的幾何體ABCEF中，BF⊥平面ABC，D為線段BC的中點，CE∥BF，∠BAC=90°，且AB=AC=BF=2CE．
（1）求證：DF⊥AE；
（2）求二面角D-AE-F的余弦值．

Answer 1

分析 （1）建立空間坐標(biāo)系，利用向量數(shù)量積的應(yīng)用證明$\overrightarrow{DF}$•$\overrightarrow{AE}$即可證明DF⊥AE；
（2）求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角D-AE-F的余弦值．

解答 證明：（1）過A作ABC的垂線Az，
∵∠BAC=90°，
∴建立以A為坐標(biāo)原點，AB，AC，Az分別為x，y，z軸的空間直角坐標(biāo)系如圖：
∵AB=AC=BF=2CE，
∴設(shè)CE=1，則AB=AC=BF=2，
則A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），D（1，1，0），E（0，2，1），F(xiàn)（2，0，2），
則$\overrightarrow{DF}$=（1，-1，2），$\overrightarrow{AE}$=（0，2，1），
則$\overrightarrow{DF}$•$\overrightarrow{AE}$=（1，-1，2）•（0，2，1）=-1×2+2×1=0，
即$\overrightarrow{DF}$⊥$\overrightarrow{AE}$，
則DF⊥AE；
（2）設(shè)面DAE的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\overrightarrow{AD}$=（1，1，0），
由$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{AD}$=x+y=0，$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{AE}$=2y+z=0，
令y=1，則x=-1，z=-2，即$\overrightarrow{m}$=（-1，1，-2），
設(shè)面AEF的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\overrightarrow{AF}$=（2，0，2），
由$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{AF}$=2x+2z=0，$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{AE}$=2y+z=0，
令y=1，則x=2，z=-2，即$\overrightarrow{n}$=（2，1，-2），
$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-2+1+4}{\sqrt{1+1+4}•\sqrt{4+1+4}}$=$\frac{3}{\sqrt{6}•3}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
即二面角D-AE-F的余弦值是$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

點評 本題主要考查空間直線垂直的判斷以及二面角的求解，建立坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量法以及向量數(shù)量積的應(yīng)用是解決本題的關(guān)鍵．綜合考查學(xué)生的運(yùn)算和推理能力．