Question

1．設P、Q是單位正方體AC₁的面AA₁D₁D、面A₁B₁C₁D₁的中心．
（1）求∠D₁B₁C的大�。�
（2）證明：PQ∥平面AA₁B₁B．
（3）求異面直線PQ和B₁C所成的角．

Answer 1

分析 （1）連接CD₁，由等邊三角形得出∠D₁B₁C的大��；
（2）連接AD₁，AB₁，證明PQ∥AB₁即可；
（3）連接AC，找出異面直線PQ和B₁C所成的角，求出即可．

解答 解：（1）如圖所示；
連接CD₁，則△D₁B₁C是等邊三角形，
∴∠D₁B₁C=60°；
（2）證明：連接AD₁，AB₁，則P、Q分別AD₁、B₁D₁的中點，
∴PQ∥AB₁，
又PQ?平面AA₁B₁B，AB₁?平面AA₁B₁B，
∴PQ∥平面AA₁B₁B；
（3）連接AC，∵PQ∥AB₁，
∠AB₁C為異面直線PQ和B₁C所成的角或補角，
∵△AB₁C為等邊三角形，∴∠AB₁C=60°，
∴異面直線PQ和B₁C所成的角為60°．

點評 本題考查了空間中的線線平行與線面平行問題，也考查了空間角的定義與計算問題，是綜合性題目．