Question

3．已知二次函數(shù)y=f（x）的圖象經過坐標原點，其導函數(shù)為f′（x）=6x-2．數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，點（n，S_n）（n∈N^*）均在函數(shù)y=f（x）的圖象上．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設${b_n}=\frac{3}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，T_n是數(shù)列{b_n}的前n項和，求使得${T_n}＜\frac{m}{2016}$對所有的（n∈N^*）都成立的最小正整數(shù)m．

Answer 1

分析 （1）依題意可設二次函數(shù)f（x）=ax²+bx（a≠0），求出導數(shù)，可得a=3，b=-2，可得S_n=3n²-2n，再由數(shù)列的通項與求和關系，即可得到所求通項公式；
（2）求得${b_n}=\frac{3}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{3}{（6n-5）[6（n-1）-5]}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{6n-5}$-$\frac{1}{6n+1}$），運用裂項相消求和可得T_n，再由恒成立思想即可解得m的范圍，進而得到最小正整數(shù)．

解答 解：（1）依題意可設二次函數(shù)f（x）=ax²+bx（a≠0），
則f′（x）=2ax+b，由f′（x）=6x-2，可得a=3，b=-2，則f（x）=3x²-2x
點（n，S_n）（n∈N^*）均在函數(shù)y=f（x）的圖象上．
即有S_n=3n²-2n，
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=3n²-2n-3（n-1）²+2（n-1）=6n-5；
當n=1時，a₁=S₁=1也適合，則a_n=6n-5；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知${b_n}=\frac{3}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{3}{（6n-5）[6（n-1）-5]}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{6n-5}$-$\frac{1}{6n+1}$）
故T_n=$\frac{1}{2}$[（1-$\frac{1}{7}$）+（$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{13}$）+…+（$\frac{1}{6n-5}$-$\frac{1}{6n+1}$）]=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{6n+1}$）
因此，要使$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{6n+1}$）＜$\frac{m}{2016}$成立，m必須且僅需滿足$\frac{1}{2}$≤$\frac{m}{2016}$，
即m≥1008，故滿足要求的最小正整數(shù)m為1008．

點評 本題考查二次函數(shù)的性質，以及解析式的求法，考查數(shù)列的通項公式的求法，注意運用數(shù)列的通項和前n項和的關系，考查數(shù)列的求和方法：裂項相消求和，以及不等式恒成立其它的解法，注意運用不等式的性質，屬于中檔題．