Question

在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，AB₁⊥BC₁，AB=CC₁=a，BC=b．
（1）設(shè)E、F分別為AB₁、BC₁的中點(diǎn)，求證：EF∥平面ABC；
（2）求證：A₁C₁⊥AB；
（3）求點(diǎn)B₁到平面ABC₁的距離．

Answer 1

（1）證明：∵E、F分別為AB₁、BC₁的中點(diǎn)，
∴EF∥A₁C₁．
∵A₁C₁∥AC，
∴EF∥AC．
∴EF∥平面ABC．
（2）證明：∵AB=CC₁，
∴AB=BB₁
又三棱柱為直三棱柱，
∴四邊形ABB₁A₁為正方形．
連接A₁B，則A₁B⊥AB1．
又∵AB₁⊥BC₁，
∴AB₁⊥平面A₁BC₁．
∴AB₁⊥A₁C₁．
又A₁C₁⊥AA₁，
∴A₁C₁⊥平面A₁ABB₁．
∴A₁C₁⊥AB．
（3）解：∵A₁B₁∥AB，
∴A₁B₁∥平面ABC₁．
∴A₁到平面ABC₁的距離等于B₁到平面ABC₁的距離．
過A₁作A₁G⊥AC₁于點(diǎn)G，
∵AB⊥平面ACC₁A₁，
∴AB⊥A₁G．
從而A₁G⊥平面ABC₁，
故A₁G即為所求的距離，即A₁G=。