Question

點(diǎn)P是為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)上的一點(diǎn)，已知，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)。

（1）求雙曲線(xiàn)的離心率；

（2）過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)分別與雙曲線(xiàn)兩漸近線(xiàn)相交于兩點(diǎn)，且，求雙曲線(xiàn)E的方程；

（3）若過(guò)點(diǎn)Q（m，0）（m為非零常數(shù)）的直線(xiàn)與（2）中的雙曲線(xiàn)E相交于不同于雙曲線(xiàn)頂點(diǎn)的兩點(diǎn)M、N，且（為非零實(shí)數(shù)），問(wèn)在軸上是否存在定點(diǎn)G使？若存在，求出所有這種定點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

解：（1）∵，，

∴，

∵，∴，∴。

（2）由（1）知雙曲線(xiàn)的方程可設(shè)為，漸近線(xiàn)方程

設(shè)

 ∵，

∵

∵點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)上，

∴

化簡(jiǎn)得，∴，∴

∴雙曲線(xiàn)方程為。

（3）設(shè)在軸上存在定點(diǎn)G（t，0），使

①若直線(xiàn)軸，（確保直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)E有兩個(gè)不同交點(diǎn)）

時(shí)，則有，且對(duì)軸上任一點(diǎn)G，

，

②若直線(xiàn)不垂直軸，設(shè)直線(xiàn)： ，，

聯(lián)立得

，

∵，

的充要條件為

由得，∴，

又∵，

∴

∴

∴

∴

∴

綜上，在軸上存在一點(diǎn)，使得。