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設(shè)a＞0,(1)證明f(x)=取得極大值和極小值的點(diǎn)各1個(gè)；

(2)當(dāng)極大值為1,極小值為-1時(shí),求a和b的值.

(1)證明：f′(x)=,

令f′(x)=0,即ax2+2bx-a=0.(*)

∵Δ=4b2+4a2＞0,

∴方程(*)有兩個(gè)不相等的實(shí)根,記為x1、x2.

不妨設(shè)x1＜x2,則有f′(x)=a(x-x1)(x-x2),f′(x)、f(x)的變化情況如下表：

x

(-∞,x1)

x1

(x1,x2)

x2

(x2,+∞)

f′(x)

-

0

+

0

-

f(x)

?↘

極小

↗?

極大

?↘

由上表可見(jiàn),f(x)取得極大值和極小值的點(diǎn)各1個(gè).

(2)解：由(1)可知f(x1)==-1,f(x2)==1-x12-1=ax1+b且1+x22=ax2+b,兩式相加,

得x22-x12=a(x1+x2)+2b.

又x1+x2=,代入上式,

得x22-x12=a()+2b=0,

∴x22-x12=0,即(x2-x1)(x2+x1)=0.

而x1＜x2,∴x1+x2=0.∴b=0代入(*)式,得a(x2-1)=0.

∵a＞0,∴x=±1,再代入(1),得a=2.

∴a=2,b=0.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知：函數(shù)f（x）=ax2-2x+1．
（1）若
1
3
≤a≤1，且f（x）在[1，3]上的最大值為M（a），最小值為N（a），令g（a）=M（a）-N（a），求g（a）的表達(dá)式；
（2）在（1）的條件下，求證：g(a)≥
1
2
；
（3）設(shè)a＞0，證明對(duì)任意的x1，x2∈[
1
a
，+∞)，|f（x1）-f（x2）|≥a|x1-x2|

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知：函數(shù)f（x）=ax2-2x+1．
（1）若
1
3
≤a≤1，且f（x）在[1，3]上的最大值為M （a），最小值為N （a），令g（a）=M（a）-N （a），求g（a）的表達(dá)式；
（2）在（1）的條件下，求證：g（a）≥
1
2
；
（3）設(shè)a＞0，證明對(duì)任意的x1，x2∈[
1
a
，+∞），|f（x1）-f（x2）|≥a（x1-x2）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知：函數(shù)f（x）=ax2-2x+1．
（1）若數(shù)學(xué)公式≤a≤1，且f（x）在[1，3]上的最大值為M （a），最小值為N （a），令g（a）=M（a）-N （a），求g（a）的表達(dá)式；
（2）在（1）的條件下，求證：g（a）≥數(shù)學(xué)公式；
（3）設(shè)a＞0，證明對(duì)任意的x1，x2∈[數(shù)學(xué)公式，+∞），|f（x1）-f（x2）|≥a（x1-x2）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2011年江蘇省淮安市洪澤中學(xué)高考數(shù)學(xué)模擬試卷（3）（解析版） 題型：解答題

已知：函數(shù)f（x）=ax2-2x+1．
（1）若，且f（x）在[1，3]上的最大值為M（a），最小值為N（a），令g（a）=M（a）-N（a），求g（a）的表達(dá)式；
（2）在（1）的條件下，求證：；
（3）設(shè)a＞0，證明對(duì)任意的，|f（x1）-f（x2）|≥a|x1-x2|

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