Question

9．對x∈R．定義sgnx=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{|x|}{x}，x≠0}\\{0，x=0}\end{array}\right.$，設(shè)M={（x，y）|x^sgn（x-1）y^sgn（y-1）=10，x，y∈R}，對M中任意一點（x，y）在映射f的作用下的像為（lgx，lgy），則M中所有點在f作用下的像圍成的區(qū)域的面積為2．

Answer 1

分析 化簡sgnx=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{|x|}{x}，x≠0}\\{0，x=0}\end{array}\right.$=$\left\{\begin{array}{l}{1，x＞0}\\{0，x=0}\\{-1，x＜0}\end{array}\right.$，設(shè)lgx=m，lgy=n，則（10^m，10ⁿ）∈M．根據(jù)定義求得點集T={（m，n）||m|+|n|=1}，從而點集T圍成的區(qū)域的面積．

解答 解：sgnx=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{|x|}{x}，x≠0}\\{0，x=0}\end{array}\right.$=$\left\{\begin{array}{l}{1，x＞0}\\{0，x=0}\\{-1，x＜0}\end{array}\right.$，
設(shè)lgx=m，lgy=n，則（10^m，10ⁿ）∈M．
于是有（10^m）^{sgn（10m-1）}•（10ⁿ）^{sgn（10n-1）}=10，
得m•sgn（10^m-1）+n•sgn（10ⁿ-1）=1，
當(dāng)m＞0時，10^m-1＞0，sgn（10^m-1）=1，msgn（10^m-1）=m，
當(dāng)m＜0時，10^m-1＜0，sgn（10^m-1）=-1，msgn（10^m-1）=-m，
∴msgn（10^m-1）=|m|
可得M中所有點在f作用下的像集T={（m，n）||m|+|n|=1}，
點集T圍成的區(qū)域是一個邊長為$\sqrt{2}$的正方形，面積為2．
故答案為：2．

點評 此題是個中檔題．考查分段函數(shù)分段處理，考查化簡整理的運算能力，同時考查了學(xué)生分析問題和解決問題的能力．