Question

已知函數(shù)f（x）=axlnx圖象上點(diǎn)（e，f（e））處的切線方程與直線y=2x平行（其中e=2.71828…），g（x）=x²﹣tx﹣2．
（I）求函數(shù)f（x）的解析式；
（II）求函數(shù)f（x）在[n，n+2]（n＞0）上的最小值；
（III）對一切x∈（0，e]，3f（x）≥g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

 解：（I）由點(diǎn)（e，f（e））處的切線方程與直線2x﹣y=0平行，
得該切線斜率為2，即f'（e）=2．
又∵f'（x）=a（lnx+1），
令a（lne+1）=2，a=1，
所以f（x）=xlnx．
（II）由（I）知f'（x）=lnx+1，
顯然f'（x）=0時(shí)x=e﹣1
當(dāng)時(shí)f'（x）＜0，所以函數(shù)上單調(diào)遞減．
當(dāng)時(shí)f'（x）＞0，所以函數(shù)f（x）在上單調(diào)遞增，
①時(shí)，；
②時(shí)，函數(shù)f（x）在[n，n+2]上單調(diào)遞增，
因此f（x）_min=f（n）=nlnnn；
所以
（III）對一切x∈（0，e]，3f（x）≥g（x）恒成立，
又g（x）=x²﹣tx﹣2，
∴3xlnx≥x²﹣tx﹣2，即．
設(shè)，
則，
由h'（x）=0得x=1或x=2，
∴x∈（0，1），h'（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增，
x∈（1，2），h'（x）＞0，h（x）單調(diào)遞減，
x∈（2，e），h'（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增，
∴h（x）_極大值=h（1）=﹣1，且h（e）=e﹣3﹣2e^﹣1＜﹣1，
所以h（x）_max=h（1）=﹣1．
因?yàn)閷σ磺衳∈（0，e]，3f（x）≥g（x）恒成立，
∴t≥h（x）_max=﹣1．
故實(shí)數(shù)t的取值范圍為[﹣1，+∞）．