Question

11．已知函數(shù)f（x）=|x-$\frac{1}{2}$|+|2x+1|．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小值m；
（Ⅱ）若正實數(shù)a，b滿足$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$=m，且|x-2|≤a+2b對任意的正實數(shù)a，b恒成立，求x的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用分段函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)f（x）的最小值m．
（Ⅱ）利用基本不等式求得a+2b的最小值為9，可得|x-2|≤9，由此求得x的范圍．

解答 解：（Ⅰ）由已知得f（x）=|x-$\frac{1}{2}$|+|2x+1|=$\left\{\begin{array}{l}{3x+\frac{1}{2}，x≥\frac{1}{2}}\\{x+\frac{3}{2}，-\frac{1}{2}≤x＜\frac{1}{2}}\\{-3x-\frac{1}{2}，x＜-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
可知當(dāng)x=-$\frac{1}{2}$時，函數(shù)f（x）取得最小值m=1．
（Ⅱ）由（1）知$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$=1，∴a+2b=（a+2b）•（$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$）=5+$\frac{2a}$+$\frac{2b}{a}$≥5+4=9，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=3時取等號，即a+2b的最小值為9．
∵|x-2|≤a+2b對任意的正實數(shù)a，b恒成立，
∴|x-2|≤9，-9≤x-2≤9，解得-7≤x≤11，
故x的范圍為{x|-7≤x≤11}．

點評 本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，利用單調(diào)性求函數(shù)的最值，函數(shù)的恒成立問題，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．