Question

5．已知曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=2cosθ，以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為x軸的非負(fù)半軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，若將曲線C向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后就得到了曲線C₁，再將曲線C₁上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的$\sqrt{3}$倍，縱坐標(biāo)保持不變就得到了曲線C₂，已知直線l：x-y-6=0．
（1）求曲線C₁上的點(diǎn)到直線l的距離的最大值；
（2）過點(diǎn)M（-1，0）且與直線l平行的直線l₁交C₂于A，B兩點(diǎn)，求點(diǎn)M到A，B兩點(diǎn)的距離之積．

Answer 1

分析 （1）化極坐標(biāo)方程為 普通方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出曲線C₁上的點(diǎn)到直線l的距離的最大值；
（2）求出曲線C₂的直角坐標(biāo)方程，直線的參數(shù)方程，代入x²+3y²=3化簡(jiǎn)得：$2{t^2}-\sqrt{2}t-2=0$，利用參數(shù)的幾何意義，求解點(diǎn)M到A，B兩點(diǎn)的距離之積．

解答 解：（1）曲線C的直角坐標(biāo)方程為（x-1）²+y²=1，
曲線C₁的直角坐標(biāo)方程為x²+y²=1，則曲線C₁上的點(diǎn)到直線l的距離的最大值${d_{max}}=3\sqrt{2}+1$．---------（3分）
（2）設(shè)曲線C₂上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為（x′，y′），曲線C₁上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），
由題意可得伸縮變換為$\left\{\begin{array}{l}{x^'}=\sqrt{3}x\\{y^'}=y\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{\sqrt{3}}}{3}{x^'}\\ y={y^'}\end{array}\right.$，
代入曲線C₁的直角坐標(biāo)方程為x²+y²=1，可得曲線C₂的直角坐標(biāo)方程為$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$，
即x²+3y²=3，----------------（6分）
直線l₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=-1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t.\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
代入x²+3y²=3化簡(jiǎn)得：$2{t^2}-\sqrt{2}t-2=0$，得t₁t₂=-1，
∴|MA|•|MB|=|t₁t₂|=1----------------（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與橢圓的方程以及極坐標(biāo)方程的應(yīng)用，考查點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．