Question

19．已知拋物線C₁：y²=2px（p＞0）與拋物線C₂關(guān)于y軸對(duì)稱，F(xiàn)₁、F₂分別為C₁、C₂的焦點(diǎn)，P是C₁上一點(diǎn)，當(dāng)P在x軸上方且直線PF₁的斜率為$\sqrt{3}$時(shí)，|PF₂|=$\frac{\sqrt{7}}{2}$．
（1）求拋物線C₁和C₂的方程；
（2）設(shè)直線l：y=x-1，是否存在點(diǎn)M（x₀，y₀）（|y₀|≤1），使得點(diǎn)M關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)M′在C₂上？若存在，求出M點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）設(shè)點(diǎn)Q在C₂上，P、Q在x軸同側(cè)且PF₁∥QF₂，QF₁與PF₂交于點(diǎn)M，過(guò)M作PF₁的平行線交x軸于點(diǎn)K，證明：|MK|是定值．

Answer 1

分析 （1）由已知中當(dāng)P在x軸上方且直線PF₁的斜率為$\sqrt{3}$時(shí)，|PF₂|=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，利用兩點(diǎn)之間距離公式，求出p值，可得C₁和C₂的方程；
（2）根據(jù)對(duì)稱點(diǎn)連線的垂直平方線是對(duì)稱軸，結(jié)合點(diǎn)M關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)M′在C₂上，可得M點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）由已知求出P，Q的坐標(biāo)，進(jìn)而求出M，K的坐標(biāo)，代入兩點(diǎn)之間距離公式，可得結(jié)論．

解答 解：（1）∵拋物線C₁：y²=2px（p＞0）與拋物線C₂關(guān)于y軸對(duì)稱，F(xiàn)₁、F₂分別為C₁、C₂的焦點(diǎn)，
∴F₁、F₂的坐標(biāo)分別為（$\frac{p}{2}$，0），（-$\frac{p}{2}$，0），
則當(dāng)P在x軸上方且直線PF₁的斜率為$\sqrt{3}$時(shí)，
直線PF₁的方程為：y=$\sqrt{3}$（x-$\frac{p}{2}$），
代入y²=2px并整理得：${y}^{2}-\frac{2\sqrt{3}p}{3}{y-p}^{2}=0$，
解得：y=$\sqrt{3}$p，則x=$\frac{3}{2}p$，
又由|PF₂|=$\sqrt{（\frac{3}{2}p+\frac{1}{2}p）^{2}+（\sqrt{3}p）^{2}}$=$\sqrt{7}$p=$\frac{\sqrt{7}}{2}$．
解得：p=$\frac{1}{2}$，
則拋物線C₁和C₂的方程分別為：y²=x和y²=-x，
（2）設(shè)存在M（x₀，y₀）（|y₀|≤1），使得點(diǎn)P關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)M′（x₁，y₁）在C₂上，
則$\left\{\begin{array}{l}\frac{{y}_{1}-{y}_{0}}{{x}_{1}-{x}_{0}}=-1\\ \frac{{y}_{1}+{y}_{0}}{2}=\frac{{x}_{1}+{x}_{0}}{2}-1\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{x}_{1}={y}_{0}+1\\{y}_{1}={x}_{0}-1\end{array}\right.$，
代入y²=-x得：$（{x}_{0}-1）^{2}=-（{y}_{0}+1）$，
即${{y}_{0}=-（{x}_{0}-1）}^{2}-1$≤-1，
又由|y₀|≤1得：-1≤y₀≤1，
則y₀=-1，
則x₁=0，y₁=0，x₀=1，
即M點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-1），
證明：（3）由（1）得P點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{3}{4}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），F(xiàn)₁、F₂的坐標(biāo)分別為（$\frac{1}{4}$，0），（-$\frac{1}{4}$，0），
∵PF₁∥QF₂，
∴直線QF₂的方程為：y=$\sqrt{3}$（x+$\frac{1}{4}$），
代入y²=-x得：$3{x}^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{3}{16}=0$，
∵P、Q在x軸同側(cè)，故Q點(diǎn)坐標(biāo)為（$-\frac{1}{12}$，$\frac{\sqrt{3}}{6}$），
則直線QF₁的方程為：y=$-\frac{\sqrt{3}}{2}$（x-$\frac{1}{4}$），
PF₂的方程為：y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（x+$\frac{1}{4}$），
聯(lián)立兩個(gè)直線的方程，可得交點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，$\frac{\sqrt{3}}{8}$），
過(guò)M作PF₁的平行線方程為：y=$\sqrt{3}$x+$\frac{\sqrt{3}}{8}$，
則點(diǎn)K的坐標(biāo)為：（-$\frac{1}{8}$，0），
則|MK|=$\frac{1}{4}$，
即|MK|是定值

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是拋物線的方程，拋物線的性質(zhì)，兩點(diǎn)之間距離方程，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，直線的交點(diǎn)，兩點(diǎn)之間距離公式，是解析幾何知識(shí)的綜合應(yīng)用，難度中檔．