Question

【題目】如圖，四棱錐P－ABCD的底面是矩形，側(cè)面PAD為等邊三角形，AB＝，AD＝， PB＝.

（1）求證：平面PAD⊥平面ABCD；

（2）M是棱PD上一點，三棱錐M－ABC的體積為1.記三棱錐P－MAC的體積為，三棱錐M－ACD的體積為，求.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）由勾股定理可得，又，可得平面，可得平面平面；

（2）由三棱錐與三棱錐等底同高，可得，又由正三角形的高也就是三棱錐的高，計算出三棱錐的體積，從而得出，再得出的值.

（1）由已知，得，于是，故，

因為四邊形ABCD是矩形，所以，又，所以平面，因為平面，

所以：平面平面.

（2）依題意，得三棱錐與三棱錐等底同高，所以，

又正三角形中，，所以正三角形的高為,

由（1）得正三角形的高也就是三棱錐的高，

所以，

所以，故.

故得解.