Question

已知兩點(diǎn)F₁（-1，0）及F₂（1，0），點(diǎn)P在以F₁、F₂為焦點(diǎn)的橢圓C上，且|PF₁|、|F₁F₂|、|PF₂|構(gòu)成等差數(shù)列．

（1）求橢圓C的方程；

（2）如圖，動(dòng)直線l：y=kx+m與橢圓C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，點(diǎn)M，N是直線l上的兩點(diǎn)，且F₁M⊥l，F(xiàn)₂N⊥l．求四邊形F₁MNF₂面積S的最大值．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）。

【解析】

試題分析：（1）依題意，設(shè)橢圓的方程為．

構(gòu)成等差數(shù)列，

， ．

又，．

橢圓的方程為． 4分 

(2) 將直線的方程代入橢圓的方程中，得．                5分

由直線與橢圓僅有一個(gè)公共點(diǎn)知，，

化簡(jiǎn)得：．                           7分

設(shè)，，    9分

（法一）當(dāng)時(shí)，設(shè)直線的傾斜角為，

則，

，       

，11分

，當(dāng)時(shí)，，，．

當(dāng)時(shí)，四邊形是矩形，．   13分

所以四邊形面積的最大值為．    14分

（法二），

．

．

四邊形的面積，  11分                      

                                                 ．   13分

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，故．

所以四邊形的面積的最大值為．     14分

考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)；橢圓的定義；直線與橢圓的綜合應(yīng)用；基本不等式。

點(diǎn)評(píng)：（1）本題主要考查橢圓的方程與性質(zhì)、直線方程、直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知

識(shí)，考查學(xué)生運(yùn)算能力、推理論證以及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，考查分類討論、數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化思想．（2）做此題的關(guān)鍵是表示出四邊形的面積。本題在計(jì)算過(guò)程中較為復(fù)雜繁瑣，我們?cè)谟?jì)算的過(guò)程中一定要耐住性子，認(rèn)真、細(xì)致，避免出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤。