Question

    如圖，斜三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，側(cè)面AA₁C₁C⊥底面ABC，∠ABC=90°，BC=2， ，AA₁⊥A₁C，AA₁=A₁C.

（I）求側(cè)棱AA₁與底面ABC所成角的大小；

（II）求側(cè)面AA₁B₁B與底面ABC所成二面角的大小；

（Ⅲ）求點C到側(cè)面AA₁B₁B的距離.

Answer 1

答案：
解析：

答案：解：（I）取AC的中點D，連結(jié)A1D. ∵AA1=A1C，∴A1D⊥AC.  又∵側(cè)面AA1C1C⊥底面ABC， ∴A1D⊥面ABC，∴∠A1AD為側(cè)棱AA1與底面ABC所成的角.∵AA1⊥A1C，AA1=A1C，∴∠A1AD=45°，即AA1與底面ABC所成的角等于45°.…4分 （II）作DE⊥AB于E，連結(jié)A1E. ∵A1D⊥面ABC，DE⊥AB，∴AB⊥A1E，∴∠A1ED為側(cè)面AA1B1B與底面ABC所成二面角的平面角.∵BC⊥AB，DE⊥AB，∴DE//BC. ∵AD=DC，∴.在等腰直角三角形AA1C中， ， ， ∴∠A1ED=60°.（III）解法一：設(shè)點C到側(cè)面AA1B1B的距離為d，連結(jié)A1B. 解法二：作DH⊥A1E于H， ∵DE⊥AB，AB⊥A1E，∴AB⊥平面A1DE， ∴AB⊥DH，又A1E⊥DH，∴DH⊥平面A1AB， ∵D為AC的中點，∴點C到側(cè)面AA1B1B的距離2DH， 又，∴點C到側(cè)面AA1B1B的距離等于.