Question

人們常說的“幸福感指數(shù)”就是指某個人主觀地評價他對自己目前生活狀態(tài)的滿意程度的指標(biāo)，常用區(qū)間[0，10]內(nèi)的一個數(shù)來表示，該數(shù)越接近10表示滿意度越高．為了解某地區(qū)居民的幸福感情況，隨機對該地區(qū)的男、女居民各500人進行了調(diào)查，調(diào)查數(shù)據(jù)如表所示：

幸福感指數(shù)	[0，2）	[2，4）	[4，6）	[6，8）	[8，10]
男居民人數(shù)	10	20	220	125	125
女居民人數(shù)	10	10	180	175	125

根據(jù)表格，解答下面的問題：
（Ⅰ）在圖中繪出頻率分布直方圖，并估算該地區(qū)居民幸福感指數(shù)的平均值；
（Ⅱ）如果居民幸福感指數(shù)不小于6，則認為其幸福．為了進一步了解居民的幸福滿意度，調(diào)查組又在該地區(qū)隨機抽取4對夫妻進行調(diào)查，用X表示他們之中幸福夫妻（夫妻二人都感到幸福）的對數(shù)，求X的分布列及期望（以樣本的頻率作為總體的概率）．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）由調(diào)查數(shù)據(jù)能作出頻率分布直方圖，并能求出該地區(qū)居民幸福感指數(shù)的平均值．
（2）由已知條件得到X的可能取值為0，1，2，3，4，且X～B（4，0.3），由此能求出X的分布列和期望．

解答： （本小題滿分12分）
解：（1）頻率分布直方圖如右圖．…（3分）
所求的平均值為0.01×2×1+0.015×2×3+0.2×2×5+0.15×2×7+0.125×2×9=6.46…（5分）
（2）男居民幸福的概率為：

125+125

500

=0.5．
女居民幸福的概率為：

175+125

500

=0.6，
故一對夫妻都幸福的概率為：
0.5×0.6=0.3…（7分）
因此X的可能取值為0，1，2，3，4，
且X～B（4，0.3）
于是P(X=k)=

C

k 4

×0.3k(1-0.3)4-k(k=0，1，2，3，4)…（9分）
X的分布列為

X	0	1	2	3	4
p	0.2401	0.4116	0.2646	0.0756	0.0081

…（11分）
∴E（X）=np=4×0.3=1.2…（12分）

點評：本題考查頻率直方圖的應(yīng)用，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意排列組合知識的合理運用．