Question

已知雙曲線C：的右焦點為F₂，F(xiàn)₂在C的兩條漸近線上的射影分別為P、Q，O是坐標原點，且四邊形OPF₂Q是邊長為2的正方形．
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）過F₂的直線l交C于A、B兩點，線段AB的中點為M，問|MA|=|MB|=|MO|是否能成立？若成立，求直線l的方程；若不成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)C的兩條漸近線相互垂直，且F₂到其中一條漸近線的距離為2，建立方程組，求出幾何量，從而可求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）這樣的直線不存在，分類討論．當直線l斜率存在時，設(shè)其方程代入雙曲線方程，利用韋達定理及，可得結(jié)論．
解答：解：（Ⅰ）依題意知C的兩條漸近線相互垂直，且F₂到其中一條漸近線的距離為2，
∴，∴
故雙曲線C的方程為．                              …（5分）
（Ⅱ）這樣的直線不存在，證明如下：…（7分）
當直線l的斜率不存在時，結(jié)論不成立                         …（8分）
當直線l斜率存在時，設(shè)其方程為，并設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）
由|MA|=|MB|=|MO|知…（9分）
∵，∴
∴…（10分）
故•…（11分）
∴
∴k²=-，這不可能
綜上可知，不存在這樣的直線．                                 …（12分）
點評：本題考查雙曲線的標準方程，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，聯(lián)立方程，正確運用韋達定理是關(guān)鍵．