Question

（2013•楊浦區(qū)一模）已知 f（x）=

3

sin2x-2sin²x，
（1）求f（x）的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若x∈[-

π

6

，

π

3

]，求f（x）的最大值及取得最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的x的取值．

Answer 1

分析：（1）利用三角函數(shù)的恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）的解析式為2sin（2x+

π

6

）-1，由此求得函數(shù)的周期，令2kπ+

3π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，解得x的范圍，可得f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．
（2）根據(jù)-

π

6

≤x≤

π

3

，求得2x+

π

6

的范圍，可得sin（2x+

π

6

）-1的范圍，即為函數(shù)的值域，從而求得函數(shù)的最大值．

解答：解：（1）因?yàn)?f（x）=

3

sin2x-2sin²x=

3

sin2x+cos2x-1=2sin（2x+

π

6

）-1，…（4分）
所以，函數(shù)的周期為T(mén)=

2π

2

=π，即函數(shù)f（x）的最小正周期為 π．    …（5分）
令 2kπ+

3π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，解得 kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

，k∈z，
所以f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]．  …（7分）
（2）因?yàn)?

π

6

≤x≤

π

3

，得-

π

6

≤2x+

π

6

≤

5π

6

，∴-

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1．   …（8分）
∴-2≤2sin（2x+

π

6

）-1≤1，…（10分）
所以，函數(shù)f（x）的最大值為1．…（12分）
此時(shí)，2x+

π

6

=

π

2

，即 x=

π

6

．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值，復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性、周期性和求法，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．