Question

18．我市每年中考都要舉行實驗操作考試和體能測試，初三某班共有30名學生，下表為該班學生的這兩項成績，例如表中實驗操作考試和體能測試都為優(yōu)秀的學生人數(shù)為6人．由于部分數(shù)據(jù)丟失，只知道從這班30人中隨機抽取一個，實驗操作成績合格，且體能測試成

		實驗操作
		不合格	合格	良好	優(yōu)秀
體 能 測 試	不合格	0	0	1	1
	合格	0	2	1	b
	良好	1	a	2	4
	優(yōu)秀	1	2	3	6

績合格或合格以上的概率是$\frac{1}{5}$．
（Ⅰ）試確定a、b的值；
（Ⅱ）從30人中任意抽取3人，設實驗操作考試和體能測試成績都是良好或優(yōu)秀的學生人數(shù)為ξ，求隨機變量ξ的分布列及數(shù)學期望Eξ．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由表格數(shù)據(jù)可知，實驗操作成績合格、且體能測試成績合格或合格以上的學生共有（4+a）人，記“實驗操作成績合格、且體能測試成績合格或合格以上”為事件A，則P（A）=$\frac{4+a}{30}=\frac{1}{5}$，由此能求出a，b的值．
（Ⅱ）從30人中任意抽取3人，其中恰有k人實驗操作考試和體能測試成績都是良好或優(yōu)秀的概率為P（ξ=k）=$\frac{{C}_{15}^{k}{C}_{15}^{3-k}}{{C}_{30}^{3}}$，（k=0，1，2，3），ξ的可能取值為0，1，2，3，由此能求出隨機變量ξ的分布列及數(shù)學期望Eξ．

解答 解：（Ⅰ）由表格數(shù)據(jù)可知，實驗操作成績合格、且體能測試成績合格或合格以上的學生共有（4+a）人，
記“實驗操作成績合格、且體能測試成績合格或合格以上”為事件A，
則P（A）=$\frac{4+a}{30}=\frac{1}{5}$，解得a=2，所以b=30-24-a=4．
∴a的值為2，b的值為4．  …（4分）
（Ⅱ）由于從30位學生中任意抽取3位的結果數(shù)為${C}_{30}^{3}$，
其中實驗操作考試和體能測試成績都是良好或優(yōu)秀的學生人數(shù)為15人，
從30人中任意抽取3人，其中恰有k個實驗操作考試和體能測試成績都是良好或優(yōu)秀的結果數(shù)為${C}_{13}^{k}{C}_{15}^{3-k}$，
所以從30人中任意抽取3人，其中恰有k人實驗操作考試和體能測試成績都是良好或優(yōu)秀的概率為P（ξ=k）=$\frac{{C}_{15}^{k}{C}_{15}^{3-k}}{{C}_{30}^{3}}$，（k=0，1，2，3），
ξ的可能取值為0，1，2，3，
則P（ξ=0）=$\frac{{C}_{15}^{0}{C}_{15}^{3}}{{C}_{30}^{3}}$=$\frac{13}{116}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{15}^{1}{C}_{15}^{2}}{{C}_{30}^{3}}$=$\frac{45}{116}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{15}^{2}{C}_{15}^{1}}{{C}_{30}^{3}}$=$\frac{45}{116}$，
P（ξ=3）=$\frac{{C}_{15}^{3}{C}_{15}^{0}}{{C}_{30}^{3}}$=$\frac{13}{116}$，…（8分）
所以ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{13}{116}$	$\frac{45}{116}$	$\frac{45}{116}$	$\frac{13}{116}$

Eξ=$0×\frac{13}{116}+1×\frac{45}{116}+2×\frac{45}{116}+3×\frac{13}{116}$=$\frac{3}{2}$．…（12分）

點評 本題考查概率的求法及應用，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意排列組合知識的合理運用．