Question

（本小題滿分14分）如圖1，在直角梯形ABCP中，AP//BC，APAB，AB=BC=，D是AP的中點(diǎn)，E，F(xiàn)，G分別    為PC、PD、CB的中點(diǎn)，將沿CD折起，使得平面ABCD, 如圖2.

（Ⅰ）求三棱椎D－PAB的體積；

 (Ⅱ) 求證：AP//平面EFG；

（Ⅲ）求二面角G—EF－D的大小。

 

 

 

Answer 1

【答案】

 

（1）

（2）略

（3）二面角的平面角為

【解析】解: (Ⅰ) ……4分

(Ⅱ)證明:方法一)  連AC,BD交于O點(diǎn),連GO,FO,EO.

∵E,F分別為PC,PD的中點(diǎn),∴//,同理//, //    

四邊形EFOG是平行四邊形, 平面EFOG. ……6分

又在三角形PAC中,E,O分別為PC,AC的中點(diǎn),PA//EO……7分

平面EFOG,PA平面EFOG, ……8分

PA//平面EFOG,即PA//平面EFG. ……9分

方法二)  連AC,BD交于O點(diǎn),連GO,FO,EO.∵E,F分別為PC,PD的中點(diǎn),

∴//,同理//

又//AB,//平面EFG//平面PAB, …7分

  又PA平面PAB,平面EFG. ……9分

方法三)  如圖以D為原點(diǎn),以 為方向向量建立空間直角坐標(biāo)系.

則有關(guān)點(diǎn)及向量的坐標(biāo)為:

……6分

設(shè)平面EFG的法向量為

     取.……7分

∵,……8分

又平面EFG. AP//平面EFG. ……9分

(Ⅲ)  由已知底面ABCD是正方形

,又∵面ABCD  

又平面PCD, 向量是平面PCD的一個(gè)法向量, =…11分

又由(Ⅰ)方法三)知平面EFG的法向量為……12分

……13分

結(jié)合圖知二面角的平面角為……14分