Question

已知圓x²+y²-x=0與直線x+y-1=0交于P，Q兩點，動圓C過P，Q兩點．
（1）若圓C圓心在直線y=

1

2

x上，求圓C的方程；
（2）求動圓C的面積的最小值；
（3）若圓C與x軸相交于兩點M，N（點N橫坐標大于1）．若過點M任作的一條與圓O：x²+y²=4交于A，B兩點直線都有∠ANM=∠BNM，求圓C的方程．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應用

專題：直線與圓

分析：（1）由題意可設圓C方程為x²+y²-x+λ（x+y-1）=0，圓C圓心在直線y=

1

2

x上即可得出λ．
（2）由（1）可得r2=

1

2

(λ+

1

2

)2+

1

8

≥

1

8

，即可得出動圓C的面積的最小值．
（3）設圓C方程為x²+y²-x+λ（x+y-1）=0，令y=0，x²+（λ-1）x-λ=0，可得x_M=1，x_N=-λ，-λ＞1．設直線AB的方程為y=k（x-1），代入x²+y²=4得，（1+k²）x²-2k²x+k²-4=0，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得根與系數的關系，由于∠ANM=∠BNM，可得

y1

x1+λ

+

y2

x2+λ

=0，代入解出即可．

解答： 解：（1）設圓C方程為x²+y²-x+λ（x+y-1）=0，
(x-

1-λ

2

)2+(y+

λ

2

)2=

2λ2+2λ+1

4

．
∵-

λ

2

=

1

2

×

1-λ

2

，解得λ=-1．
∴圓C方程為x²+y²-2x-y+1=0．
（2）由（1）可得r2=

1

2

(λ+

1

2

)2+

1

8

≥

1

8

，∴動圓C的面積的最小值為

1

8

π．
（3）設圓C方程為x²+y²-x+λ（x+y-1）=0，
令y=0，x²+（λ-1）x-λ=0，
∴（x-1）（x+λ）=0，x_M=1，x_N=-λ，-λ＞1．
設直線AB的方程為y=k（x-1），
代入x²+y²=4得，（1+k²）x²-2k²x+k²-4=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），從而x1+x2=

2k2

1+k2

，x1x2=

k2-4

1+k2

．
∵

y1

x1+λ

+

y2

x2+λ

=

k[(x1-1)(x2+λ)+(x2-1)(x1+λ)]

(x1+λ)(x2+λ)

，
而（x₁-1）（x₂+λ）+（x₂-1）（x₁+λ）
=2x₁x₂-（-λ+1）（x₂+x₁）-2λ=2

k2-4

1+k2

-(-λ+1)

2k2

1+k2

-2λ=

2λ-8

1+k2

，
∵∠ANM=∠BNM，
∴

y1

x1+λ

+

y2

x2+λ

=0，即

2λ-8

1+k2

=0，得λ=-4．
當直線AB與x軸垂直時也成立．
∴圓C的方程為x²-5x+y²-4y+4=0．

點評：本題考查了直線與圓的相交問題轉化為方程聯立可得根與系數的關系、圓的標準方程及其性質，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．