Question

（1）求（1+2x）⁷展開式中系數最大項；
（2）求（1-2x）⁷展開式中系數最大項．

Answer 1

分析：（1）本題要求二項式中系數最大的項，設出第r+1項系數最大，則這一項不小于它的前一項且不小于它的后一項，列出不等式組，解不等式組，根據r是正整數得到結果．
（2）本題要求二項式中系數最大的項，展開式共有8項，系數最大項必為正項，即在第一、三、五、七這四項中取得，故系數最大項必在中間或偏右，只需比較T₅和T₇兩項系數大小即可．

解答：解：（1）設第r+1項系數最大，則有

C r 7 •2r≥ C r+1 7 •2r+1 C r 7 •2r≥ C r-1 7 •2r-1

，
即

7! r!(7-r)! ≥2• 7! (r+1)!(6-r)! 2• 7! r!(7-r)! ≥ 7! (r-1)!(8-r)!

，
即

r+1≥2(7-r) 2(8-r)≥r

，
∴

13

3

≤r≤

16

3

且0≤r≤7，r∈Z，
∴r=5．
∴系數最大項為T₆=C₇⁵•2⁵•x⁵=672x⁵；
（2）展開式共有8項，系數最大項必為正項，
即在第一、三、五、七這四項中取得，
故系數最大項必在中間或偏右，
∴只需比較T₅和T₇兩項系數大小即可．
∵T₅=C₇⁴（-2）⁴x⁴=560x⁴，T₇=C₇⁶（-2）⁶x⁶=448x⁶，
∴系數最大的項是第五項為T₅=C₇⁴（-2）⁴x⁴=560x⁴．

點評：本題是一個典型的二項式問題，主要考查二項式的性質，注意二項式系數和項的系數之間的關系，這是容易出錯的地方，本題考查展開式的通項式，這是解題的關鍵．