Question

已知定義域為R的函數(shù)y=f（x）滿足f（x+1）f（x-1）=1，且f（2）=3，則f（2010）=________．

Answer 1

解：由題意知，對于任意的實數(shù)都有f（x+1）f（x-1）=1，
令x=1代入上式得，f（2）f（0）=1，
∵f（2）=3，∴f（0）=，
再用x+1代換x，代入上式可得，f（x+2）f（x）=1，則f（x+2）=，
f（x+4）==f（x），∴f（x）是周期函數(shù)且周期是4，
∴f（2010）=f（4×502+2）=f（2）=3．
故答案為 3．
分析：由題意和f（3）=3，需要令x=2代入關(guān)系式可求出f（0），再用x+1代換x，代入上式可得f（x+2）=，從而得到f（x+4）==f（x），求出函數(shù)的周期，利用周期性
求出f（2010）的值．
點評：本題是一道抽象函數(shù)問題，解題的關(guān)鍵是巧妙的賦值，求出函數(shù)值和函數(shù)的周期性，再利用周期性求函數(shù)值，即靈活的“賦值法”是解決抽象函數(shù)問題的基本方法．