Question

已知橢圓C：（a＞b＞0）的兩個焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，離心率為，且過點．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）M，N，P，Q是橢圓C上的四個不同的點，兩條都不和x軸垂直的直線MN和PQ分別過點F₁，F(xiàn)₂，且這兩條直線互相垂直，求證：為定值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由離心率為，即可得a²=2b²，從而C：，再把點代入橢圓方程即可求得b²，進而得到a²．
（Ⅱ）由（Ⅰ）寫出焦點F₁，F(xiàn)₂的坐標，設直線MN的方程為y=k（x+2），由直線MN與直線PQ互相垂直得直線PQ的方程為，設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．聯(lián)立直線MN與橢圓方程消掉y得x的二次方程，由韋達定理及弦長公式可用k表示|MN|，同理可表示出|PQ|，計算即可得到為定值．
解答：（Ⅰ）解：由已知，得．
所以a²=2b²．
所以C：，即x²+2y²=2b²．
因為橢圓C過點，所以，
得b²=4，a²=8．
所以橢圓C的方程為．
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知橢圓C的焦點坐標為F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0）．
根據(jù)題意，可設直線MN的方程為y=k（x+2），
由于直線MN與直線PQ互相垂直，則直線PQ的方程為．
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
由方程組消y得（2k²+1）x²+8k²x+8k²-8=0．
則 ，．
所以|MN|===．
同理可得|PQ|=．
所以==．
點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題及橢圓方程的求解，韋達定理及弦長公式是解決該類題目的基礎，應熟練掌握．