Question

18．如圖所示，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，點M，N分別是AB，PC的中點，且PA=AD
（1）求證：MN∥平面PAD        
（2）求證：平面PMC⊥平面PCD．

Answer 1

分析 （1）設PD的中點為點E，連接AE，NE，可得AMNE是平行四邊形，即可得MN∥平面PAD
（2）由AE⊥PD，CD⊥AE，得AE⊥平面PCD，結合MN∥AE，可得MN⊥平面PCD，即可證得平面PMC⊥平面PCD

解答 解：（1）設PD的中點為點E，連接AE，NE，
由點N為PC的中點知EN∥$\frac{1}{2}$DC，EN=$\frac{1}{2}$DC，
又ABCD是矩形，所以DC∥AB，DC=AB，所以EN∥$\frac{1}{2}$AB，EN=$\frac{1}{2}$AB，
又點M是AB的中點，所以EN∥AM，EN=AM，所以AMNE是平行四邊形，
所以MN∥AE，而AE?平面PAD，NM?平面PAD，所以MN∥平面PAD．（6分）
（2）因為PA=AD，所以AE⊥PD，又因為PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
所以CD⊥PA，而CD⊥AD，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥AE，因為PD∩CD=D，
所以AE⊥平面PCD，因為MN∥AE，所以MN⊥平面PCD，
又MN?平面PMC，所以平面PMC⊥平面PCD．（12分）

點評 本題考查了空間線面平行的判定，面面垂直的判定，屬于中檔題．