Question

如圖，在四棱錐S-ABCD中，AB⊥AD，AB∥CD，CD=3AB，平面SAD⊥平面ABCD，M是線段AD上一點，AM=AB，DM=DC，SM⊥AD。
（1）證明：BM⊥平面SMC；
（2）設三棱錐C-SBM與四棱錐S-ABCD的體積分別為V₁與V，求的值．

Answer 1

（1）證明：∵平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD=AD， SM平面SAD，SM⊥AD，
∴SM⊥平面ABCD，
∵BM平面ABCD，
∴SM⊥BM， 
∵四邊形ABCD是直角梯形，AB∥CD，AM=AB，DM=DC，
∴△MAB，△MDC都是等腰直角三角形，
∴∠AMN=∠CMF=45°，∠BMC=90°，BM⊥CM，
∵SM平面SMC，CM平面SMC，SM∩CM=M，
∴BM⊥平面SMC。
（2） 解： 三棱錐C-SBM與三棱錐S-CBM的體積相等，
由(1) 知SM⊥平面ABCD，得，
設AB=a，由CD=3AB，AM=AB，DM=DC，
得
從而。