Question

（2012•濟(jì)寧一模）如圖所示，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，∠ACB=90°，AB=2，BC=1，AA₁=

3

．
（I）若D是棱CC₁的中點(diǎn)，E是棱AB的中點(diǎn)，證明：DE∥平面AB₁C₁；
（II）求三棱錐A₁-AB₁C₁的體積．

Answer 1

分析：（I）取BB₁的中點(diǎn)F，連接EF，DF，利用D是棱CC₁的中點(diǎn)，E是棱AB的中點(diǎn)，可得線線平行，從而可得線面平行，進(jìn)而可得面面平行，即可證明DE∥平面AB₁C₁；
（II）利用V_{三棱錐A1-AB1C1}=V_{三棱錐A-A1B1C1}，即可求三棱錐A₁-AB₁C₁的體積．

解答：（I）證明：取BB₁的中點(diǎn)F，連接EF，DF，則
∵D是棱CC₁的中點(diǎn)，E是棱AB的中點(diǎn)，
∴DF∥B₁C₁，EF∥A₁B₁
∴EF∥平面AB₁C₁，DF∥平面AB₁C₁，
∵EF∩DF=F，
∴平面DEF∥平面AB₁C₁，
∵DE?平面DEF
∴DE∥平面AB₁C₁；
（II）解：∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，∴AA₁是平面A₁B₁C₁的高，
∵∠ACB=90°，AB=2，BC=1，AA₁=

3

，
∴V_{三棱錐A1-AB1C1}=V_{三棱錐A-A1B1C1}=

1

3

S△A1B1C1•AA1=

1

3

×

1

2

×2×1×

3

=

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面平行，考查三棱錐體積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．