Question

3．點(diǎn)P（x，y）是橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1上的任一點(diǎn)，求2x+y的取值范圍是[-$\sqrt{17}$，$\sqrt{17}$]．

Answer 1

分析 動(dòng)點(diǎn)P（x，y）在橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1上，可設(shè)x=2cosθ，y=sinθ，θ∈[0，2π]．于是2x+y=4cosθ+sinθ=$\sqrt{17}$sin（θ+φ），即可得出．

解答 解：∵動(dòng)點(diǎn)P（x，y）在橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1上，
∴可設(shè)x=2cosθ，y=sinθ，θ∈[0，2π]．
∴2x+y=4cosθ+sinθ=$\sqrt{17}$sin（θ+φ）．
∴2x+y∈[-$\sqrt{17}$，$\sqrt{17}$]．
故答案為：[-$\sqrt{17}$，$\sqrt{17}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的參數(shù)方程、兩角和差的正弦公式及其單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．