Question

6．在四棱柱ABCD一A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是菱形，且AB=AA₁=$\sqrt{5}$，BD=4，A₁在底面 ABCD的射影是AC與BD的交點(diǎn)O．
（1）證明：在側(cè)棱AA₁上存在-點(diǎn)E，使得0E⊥平面BB₁D₁D，并求出AE的長(zhǎng)；
（2）求二面角A₁一B₁D-D₁的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件，便可說明OB，OC，OA₁三直線兩兩垂直，從而可分別以這三直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，然后求出空間一些點(diǎn)的坐標(biāo)．可設(shè)在側(cè)棱AA₁上存在一點(diǎn)E，使得OE⊥平面BB₁D₁D，并且可以設(shè)E（0，$\frac{2}-1$，b），并可以設(shè)平面BB₁D₁D的法向量為$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$，從而可根據(jù)$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BD}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{B{B}_{1}}=0}\end{array}\right.$求出法向量$\overrightarrow{m}$，從而有$\overrightarrow{OE}$∥$\overrightarrow{m}$，根據(jù)共線向量基本定理即可求出b的值，并且可以求出AE的長(zhǎng)，這樣便得出要證的結(jié)論正確；
（2）求二面角A₁-B₁D-D₁的余弦值，可分別求出平面A₁B₁D和平面D₁B₁D的法向量，求法同上面求法向量的過程，然后求這兩法向量夾角的余弦值即可得出二面角A₁-B₁D-D₁的余弦值．

解答 解：（1）證明：根據(jù)條件，A₁O⊥底面ABCD，AC⊥BD；
∴OB，OC，OA₁三直線兩兩垂直，分別以這三直線為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則：
O（0，0，0），A（0，-1，0），B（2，0，0），C（0，1，0），D（-2，0，0），A₁（0，0，2），B₁（2，1，2），D₁（-2，1，2）；
∴$\overrightarrow{BD}=（-4，0，0），\overrightarrow{B{B}_{1}}=（0，1，2）$，設(shè)在側(cè)棱AA₁上存在點(diǎn)E，使OE⊥平面BB₁D₁D；
∵A₁O⊥平面ABCD，A₁O?平面A₁AO；
∴平面A₁AO⊥平面ABCD，過E作EF⊥AO，垂足為F，則EF⊥平面ABCD，且$\frac{EF}{AF}=\frac{{A}_{1}O}{AO}=\frac{2}{1}$；
∴設(shè)E（0，$\frac{2}-1$，b），-1≤a≤0，0≤b≤2，$\overrightarrow{OE}=（0，\frac{2}-1，b）$；
設(shè)平面BB₁D₁D的法向量為$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$，則：
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BD}=-4x=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{B{B}_{1}}=y+2z=0}\end{array}\right.$；
取z=1，則$\overrightarrow{m}=（0，-2，1）$，則$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{OE}$；
存在k使，$\overrightarrow{OE}=k\overrightarrow{m}$；
∴（0，$\frac{2}$-1，b）=（0，-2k，k）；
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}-1=-2k}\\{b=k}\end{array}\right.$；
∴b=$\frac{2}{5}$；
∴$EF=\frac{2}{5}，AF=\frac{1}{5}$，EF⊥AF；
∴$AE=\frac{\sqrt{5}}{5}$；
即在側(cè)棱上存在一點(diǎn)E，使OE⊥平面BB₁D₁D，且AE=$\frac{\sqrt{5}}{5}$；
（2）設(shè)平面A₁B₁D的法向量為$\overrightarrow{p}=（{x}_{1}，{y}_{1}，{z}_{1}）$，$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}=（2，1，0），\overrightarrow{{A}_{1}D}=（-2，0，-2）$，則：
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{p}•\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}=2{x}_{1}+{y}_{1}=0}\\{\overrightarrow{p}•\overrightarrow{{A}_{1}D}=-2{x}_{1}-2{z}_{1}=0}\end{array}\right.$；
取x₁=1，則$\overrightarrow{p}=（1，-2，-1）$；
同理設(shè)平面D₁B₁D的法向量為$\overrightarrow{q}=（{x}_{2}，{y}_{2}，{z}_{2}）$，根據(jù)$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{q}•\overrightarrow{{B}_{1}{D}_{1}}=0}\\{\overrightarrow{q}•\overrightarrow{{B}_{1}D}=0}\end{array}\right.$可求出$\overrightarrow{q}=（0，-2，1）$；
∴設(shè)二面角A₁-B₁D-D₁的大小為θ，則cosθ=$\frac{\overrightarrow{p}•\overrightarrow{q}}{|\overrightarrow{p}||\overrightarrow{q}|}=\frac{3}{\sqrt{6}•\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{30}}{10}$；
∴二面角A₁-B₁D-D₁的余弦值為$\frac{\sqrt{30}}{10}$．

點(diǎn)評(píng) 考查面面垂直的判定定理，線面垂直的判定定理，以及菱形的對(duì)角線互相垂直，通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量解決線面垂直以及二面角等問題的方法，平面法向量的概念及其求法，共線向量基本定理，要清楚兩平面法向量的夾角和兩平面形成二面角的大小的關(guān)系．