Question

 

已知橢圓的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線相切．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)，，是橢圓上關(guān)于軸對(duì)稱的任意兩個(gè)不同的點(diǎn)，連結(jié)交橢圓于另一點(diǎn)，證明直線與軸相交于定點(diǎn)；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，過點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，求的取值范圍．

 

 

Answer 1

【答案】

 解：（Ⅰ）由題意知，

所以．

即．

又因?yàn)?sub>，

所以，．

故橢圓的方程為．         …4分

（Ⅱ）由題意知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為．

由  得．       ①    …6分

設(shè)點(diǎn)，，則．

直線的方程為．

令，得．

將，代入，

整理，得．                             ②

由①得 ，代入②

整理，得．

所以直線與軸相交于定點(diǎn)．         …9分

（Ⅲ）當(dāng)過點(diǎn)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，且

，在橢圓上．

由  得．  

易知．

所以，， ．

則．

因?yàn)?sub>，所以．

所以．

當(dāng)過點(diǎn)直線的斜率不存在時(shí)，其方程為．

解得：，．

此時(shí)．

所以的取值范圍是．           …12分