Question

3．已知等邊三角形的一個(gè)頂點(diǎn)位于拋物線(xiàn)y²=2px的焦點(diǎn)，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，則這個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)（4±2$\sqrt{3}$）|p|．

Answer 1

分析 由等邊三角形性質(zhì)得出一邊斜率為$\frac{\sqrt{3}}{3}$，聯(lián)立方程組解出另兩點(diǎn)坐標(biāo)即可得出三角形的邊長(zhǎng)．

解答 解：拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為（$\frac{p}{2}$，0），
由對(duì)稱(chēng)性可知三角形的另兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，
∴三角形過(guò)點(diǎn)（$\frac{p}{2}$，0）的一邊方程為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-$\frac{p}{2}$），
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=2px}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{3}（x-\frac{p}{2}）}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{7+4\sqrt{3}}{2}p}\\{y=（2+\sqrt{3}）p}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{7-4\sqrt{3}}{2}p}\\{y=（2-\sqrt{3}）p}\end{array}\right.$．
∴等邊三角形的邊長(zhǎng)為（4+2$\sqrt{3}$）|p|或（4-2$\sqrt{3}$）|p|．
故答案為：（4±2$\sqrt{3}$）|p|．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線(xiàn)的性質(zhì)，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，屬于中檔題．