Question

現(xiàn)有一個由長半軸為2，短半軸為1的橢圓繞其長軸按一定方向旋轉180°所形成的“橄欖球面”．已知一個以橢圓的長軸為軸的圓柱內(nèi)接于該橄欖球面，則這個圓柱的側面積的最大值是    ．

Answer 1

【答案】分析：由題意作出截面圖，建立直角坐標系后得到橢圓的標準方程，再設出圓柱面與橄欖球面的一個切點，該切點的橫縱坐標與圓柱的底面半徑和母線長有關系，利用點在橢圓上得出點的橫縱坐標的關系，利用不等式可以求得ab的最大值，把圓柱的側面積用含有ab的代數(shù)式表示后得到最大值．
解答：解：由題意作截面圖如圖，

在圖中坐標系下，設圓柱與橄欖球面在第一象限內(nèi)的切點為P（a，b）（a＞0，b＞0），
則橢圓方程為．
因為P在橢圓上，所以．
所以．
當且僅當，即時“=”成立．
而圓柱的底面半徑等于b，母線長等于2a，
所以圓柱的側面積S=4πab．則S的最大值等于4π．
故答案為4π．
點評：本題考查了橢圓的運用，考查了利用基本不等式求最值，體現(xiàn)了數(shù)形結合的解題思想，屬中檔題．