Question

某企業(yè)用銀行無(wú)息貸款，投資280萬(wàn)元引進(jìn)一條高科技生產(chǎn)流水線，預(yù)計(jì)第一年可獲收入100萬(wàn)元，以后每年的收入增長(zhǎng)10萬(wàn)元，但還需用于此流水線的保養(yǎng)維護(hù)費(fèi)用每年45萬(wàn)元．
（1）若第n年該生產(chǎn)線的收入為a_n萬(wàn)元，n年所獲得總收入為S_n萬(wàn)元，求a_n，S_n．
（2）求至少要多少年才能收回投資．

Answer 1

解：（1）∵第一年可獲收入100萬(wàn)元，以后每年的收入增長(zhǎng)10萬(wàn)元，
∴第n年該生產(chǎn)線的收入為a_n，組成以100為首項(xiàng)，10為公差的等差數(shù)列
∴a_n=10n+90，
（2）設(shè)n年才能收回投資，即總利潤(rùn)不小于總支出，則5n²+95n≥280+45n
∴n²+10n-56≥0
∴n≥4
即至少4年才能收回投資．
分析：（1）根據(jù)第一年可獲收入100萬(wàn)元，以后每年的收入增長(zhǎng)10萬(wàn)元，可得第n年該生產(chǎn)線的收入為a_n，組成以100為首項(xiàng)，10為公差的等差數(shù)列，從而可求a_n，S_n；
（2）利用總利潤(rùn)不小于總支出，建立不等式，由此即可求得結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的應(yīng)用，考查解不等式，解題的關(guān)鍵是構(gòu)建等差數(shù)列模型，屬于中檔題．