Question

數列{a_n}滿足an=2an-1+2n+1(n∈N*，n≥2)，a₃=27．
（Ⅰ）求a₁，a₂的值；
（Ⅱ）已知bn=

1

2n

(an+t)(n∈N*)，若數列{b_n}成等差數列，求實數t；
（Ⅲ）求數列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由an=2an-1+2n+1(n∈N*，n≥2)，令n=3即可解得a₂．令n=2即可解得a₁．
（II）由an=2an-1+2n+1(n∈N*，n≥2)，變形為an+1=2(an-1+1)+2n⇒

an+1

2n

=

an-1+1

2n-1

+1（n∈N^*，n≥2），令bn=

1

2n

(an+1)(n∈N*)，即可證明數列{b_n}成等差數列；
（III）由（II）可得b_n，a_n，再利用“錯位相減法”即可得出．

解答：解：（Ⅰ）由an=2an-1+2n+1(n∈N*，n≥2)，得a3=2a2+23+1=27，解得a₂=9．
a2=2a1+22+1=9，解得a₁=2．
（Ⅱ）由an=2an-1+2n+1(n∈N*，n≥2)，
⇒an+1=2(an-1+1)+2n，
⇒

an+1

2n

=

an-1+1

2n-1

+1（n∈N^*，n≥2）
⇒

an+1

2n

-

an-1+1

2n-1

=1（n∈N^*，n≥2），
令bn=

1

2n

(an+1)(n∈N*)，
∴b_n-b_n-1=1（n≥2）
∴數列{b_n}成等差數列，
∴t=1．
（Ⅲ）∵{b_n}成等差數列，
∴b_n=b₁+（n-1）d=

3

2

+(n-1)=

2n+1

2

．
又bn=

1

2n

(an+1)=

2n+1

2

；
解得an=(2n+1)•2n-1-1（n∈N^*），
∴S_n=3•1+5•2+7•2²+…+（2n+1）•2^n-1-n①
2S_n=3•2+5•2²+7•2³+…+（2n+1）•2ⁿ-2n②
①-②得-Sn=3+2•2+2•22+…+2•2n-1-(2n+1)•2n+n=3+2²+2³+…+2ⁿ-（2n+1）•2ⁿ+n=3+

4(1-2n-1)

1-2

-(2n+1)•2n+n=（-2n+1）•2ⁿ+n-1．
∴Sn=(2n-1)•2n-n+1（n∈N^*）

點評：本題考查了遞推式的意義、通過變形化為等差數列求通項公式、等比數列的前n項和公式、“錯位相減法”等基礎知識與基本技能方法，考查了分析問題和解決問題的能力，屬于難題．