Question

已知函數(shù)f（x）=e^x，g（x）=ax²+bx+1（a，b∈R）．
（1）若a≠0，則a，b滿足什么條件時，曲線y=f（x）與y=g（x）在x=0處總有相同的切線？
（2）當a=1時，求函數(shù)h(x)=

g(x)

f(x)

的單調減區(qū)間；
（3）當a=0時，若f（x）≥g（x）對任意的x∈R恒成立，求b的取值的集合．

Answer 1

分析：（1）分別利用導數(shù)求出y=f（x）與y=g（x）在x=0的切線方程，根據(jù)兩切線重合可求出a，b滿足的條件；
（2）先求出函數(shù)h（x）的解析式，然后求出導函數(shù)h′（x），令h′（x）=0，討論根的大小，從而求出函數(shù)的單調減區(qū)間；
（3）當a=0時，令φ（x）=f（x）-g（x）=e^x-bx-1，利用導數(shù)研究函數(shù)的最小值，討論函數(shù)的單調性，從而求出b的取值的集合．

解答：解：（1）∵f′（x）=e^x，∴f′（0）=1，又f（0）=1，
∴y=f（x）在x=0處的切線方程為y=x+1，
又∵g′（x）=2ax+b，∴g′（0）=b，又g（0）=1，
∴y=g（x）在x=0處的切線方程為y=bx+1，
∴當a≠0，b=1時，曲線y=f（x）與y=g（x）在x=0處總有相同的切線；
（2）當a=1時，函數(shù)h(x)=

g(x)

f(x)

=

x2+bx+1

ex

，
∴h′（x）=

-x2+(2-b)x+b-1

ex

=-

(x-1)(x-(1-b))

ex

，
由h′（x）=0，得x=1或1-b，
∴當b＞0時，函數(shù)y=h（x）的減區(qū)間為（-∞，1-b），（1，+∞）；
當b=0時，函數(shù)y=h（x）的減區(qū)間為（-∞，+∞）；
當b＜0時，函數(shù)y=h（x）的減區(qū)間為（-∞，1），（1-b，+∞）；
（3）當a=0時，φ（x）=f（x）-g（x）=e^x-bx-1，
∴φ′（x）=e^x-b，
①當b≤0時，φ′（x）≥0，函數(shù)φ（x）在R上單調遞增，又φ（0）=0，
∴x∈（-∞，0）時，φ（x）＜0，與函數(shù)f（x）≥g（x）矛盾，
②當b＞0時，φ′（x）＞0，x＞lnb；∴φ′（x）＜0，x＜lnb，
∴函數(shù)φ（x）在（-∞，lnb）上單調遞減，在（lnb，+∞）上單調遞增，
1°當0＜b＜1時，lnb＜0，又φ（0）=0，∴φ（b）＜0，與函數(shù)f（x）≥g（x）矛盾，
2°當b＞1時，同理φ（lnb）＜0，與函數(shù)f（x）≥g（x）矛盾，
3°當b=1時，lnb=0，∴函數(shù)φ（x）在（-∞，0）上單調遞減，在（0，+∞）上單調遞增，
∴φ（x）≥φ（0）=0，故b=1滿足題意，
綜上所述，b的取值的集合為{1}．

點評：本題考查了利用導數(shù)研究在曲線某點處的切線方程，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，同時考查了不等式恒成立問題，解題過程中運用了構造函數(shù)的思想，是綜合性較強的一道導數(shù)應用題．屬于難題．