Question

14．已知函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$，x∈R），且函數f（x）的最大值為2，最小正周期為$\frac{π}{2}$，并且函數f（x）的圖象過點（$\frac{π}{24}$，0）．
（1）求函數f（x）解析式；
（2）設△ABC的角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且f（$\frac{C}{4}$）=2，c=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求a+2b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由函數最大值為2，確定出A的值，由最小正周期求出ω的值，將已知點坐標代入求出φ的值，即可確定出f（x）解析式；
（2）由f（$\frac{C}{4}$）=2，求出C的度數，利用正弦定理求出2R的值，所求式子利用正弦定理化簡，整理后利用余弦函數的值域求出范圍即可．

解答 解：（1）根據題意得：A=2，ω=4，即f（x）=2sin（4x+φ），
把（$\frac{π}{24}$，0）代入得：2sin（$\frac{π}{6}$+φ）=0，即sin（$\frac{π}{6}$+φ）=0，
∴$\frac{π}{6}$+φ=0，即φ=-$\frac{π}{6}$，
則f（x）=2sin（4x-$\frac{π}{6}$）；
（2）由f（$\frac{C}{4}$）=2sin（C-$\frac{π}{6}$）=2，即sin（C-$\frac{π}{6}$）=1，
∴C-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即C=$\frac{2π}{3}$，
由正弦定理得：$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sinB}$$\frac{c}{sinC}$=2R，即$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2R=1，
∴a+2b=2RsinA+4RsinB=sinA+2sinB=sinA+2sin（$\frac{π}{3}$-A）=sinA+2sin$\frac{π}{3}$cosA-2cos$\frac{π}{3}$sinA=sinA+$\sqrt{3}$cosA-sinA=$\sqrt{3}$cosA，
∵$\frac{1}{2}$＜cosA＜1，即$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜$\sqrt{3}$cosA＜$\sqrt{3}$，
∴a+2b的范圍為（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sqrt{3}$）．

點評 此題考查了正弦、余弦定理，兩角和與差的正弦函數公式，以及余弦函數的值域，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．