Question

11．給出下列命題：
①函數(shù)f（x）=$\frac{{\sqrt{|{x-2}|-1}}}{{{{log}_2}（x-1）}}$的定義域?yàn)閇3，+∞）；
②將函數(shù)y=tanx圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把圖象向左平移$\frac{2π}{3}$個(gè)單位，得到g（x）的圖象，則g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是$（kπ-\frac{5π}{3}，kπ+\frac{π}{3}）（k∈Z）$；
③已知函數(shù)f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{{{10}^{-x}}-2，x≤0}\\{2ax-1，x＞0}\end{array}}$（a是常數(shù)且a＞0），若f（x）＞0在$[\frac{1}{2}，+∞）$上恒成立，則a的取值范圍是[1，+∞）；
④已知函數(shù)f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{{{10}^{-x}}-2，x≤0}\\{2ax-1，x＞0}\end{array}}$（a是常數(shù)且a＞0），對(duì)任意的x₁，x₂＜0且x₁≠x₂，恒有$f（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）＜\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）}}{2}$；
⑤已知函數(shù)f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{{x^3}，x≤a}\\{{x^2}，x＞a}\end{array}}$，若存在實(shí)數(shù)b，使函數(shù)g（x）=f（x）-b有兩個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是a＜0或a＞1．
其中正確命題的序號(hào)是①④⑤．（寫(xiě)出所有正確命題的序號(hào)）

Answer 1

分析 ①根據(jù)函數(shù)成立的條件進(jìn)行求解．
②根據(jù)三角函數(shù)的圖象以及三角函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解判斷．
③根據(jù)函數(shù)恒成立，利用參數(shù)分離法進(jìn)行求解．
④根據(jù)凹函數(shù)的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行判斷．
⑤由g（x）=f（x）-b有兩個(gè)零點(diǎn)可得f（x）=b有兩個(gè)零點(diǎn)，即y=f（x）與y=b的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則函數(shù)在定義域內(nèi)不能是單調(diào)函數(shù)，結(jié)合函數(shù)圖象可求a的范圍．

解答 解：①要使函數(shù)有意義，則$\left\{\begin{array}{l}{x-1＞0}\\{lo{g}_{2}（x-1）≠0}\\{|x-2|-1≥0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x＞1}\\{x≠2}\\{x≥3或x≤1}\end{array}\right.$，得x≥3，即函數(shù)的定義域?yàn)閇3，+∞）；故①正確，
②將函數(shù)y=tanx圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到y(tǒng)=tan$\frac{1}{2}x$，
再把圖象向左平移$\frac{2π}{3}$個(gè)單位，得到y(tǒng)=tan$\frac{1}{2}$（x+$\frac{2π}{3}$）=tan（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$），即g（x）=tan（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$），
由kπ-$\frac{π}{2}$＜$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$＜kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，得2kπ-$\frac{5π}{3}$＜x＜2kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為為（2kπ-$\frac{5π}{3}$，2kπ+$\frac{π}{3}$），k∈Z，故②錯(cuò)誤，
③已知函數(shù)f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{{{10}^{-x}}-2，x≤0}\\{2ax-1，x＞0}\end{array}}$（a是常數(shù)且a＞0），
若f（x）＞0在$[\frac{1}{2}，+∞）$上恒成立，則2ax-1＞0，即a＞$\frac{1}{2x}$，
∵當(dāng)x≥$\frac{1}{2}$時(shí)，$\frac{1}{2x}$≤$\frac{1}{2×\frac{1}{2}}$=1，則a＞1，即a的取值范圍是（1，+∞）；故③錯(cuò)誤，
④已知函數(shù)f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{{{10}^{-x}}-2，x≤0}\\{2ax-1，x＞0}\end{array}}$（a是常數(shù)且a＞0），對(duì)任意的x₁，x₂＜0且x₁≠x₂，若$f（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）＜\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）}}{2}$，則函數(shù)為凹函數(shù)，作出函數(shù)y=f（x）在x＜0時(shí)的圖象如圖：

則函數(shù)為凹函數(shù)，滿(mǎn)足條件．故④正確；
⑤解：∵g（x）=f（x）-b有兩個(gè)零點(diǎn)，
∴f（x）=b有兩個(gè)零點(diǎn)，即y=f（x）與y=b的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
由x³=x²可得，x=0或x=1
當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)f（x）的圖象如圖所示，此時(shí)存在b，滿(mǎn)足題意，故a＞1滿(mǎn)足題意

當(dāng)a=1時(shí)，由于函數(shù)f（x）在定義域R上單調(diào)遞增，故不符合題意
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，故不符合題意

④a=0時(shí)，f（x）單調(diào)遞增，故不符合題意
⑤當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)y=f（x）的圖象如圖所示，此時(shí)存在b使得，y=f（x）與y=b有兩個(gè)交點(diǎn)

綜上可得，a＜0或a＞1，故⑤正確，
故答案為：①④⑤

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查命題的真假判斷，涉及三角函數(shù)以及函數(shù)的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，難度較大．