Question

己知定義在R上的函數(shù)y=f（x）滿足f（x）=f（2-x），且當(dāng)x≠1時(shí)，其導(dǎo)函數(shù)f′（x）滿足f′（x）＞xf′（x），若a∈（1，2），則（　�。�

• A、f（log₂a）＜f（2^a）＜f（2）
• B、f（2^a）＜f（2）＜f（log₂a）
• C、f（log₂a）＜f（2）＜f（2^a）
• D、f（2）＜f（log₂a）＜f（2^a）

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算,函數(shù)的周期性

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：由函數(shù)的性質(zhì)得到函數(shù)的對(duì)稱軸，再由f′（x）＞xf′（x），得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，由函數(shù)的單調(diào)性得到要證得結(jié)論．

解答： 解：函數(shù)f（x）對(duì)定義域R內(nèi)任意x都有f（x）=f（2-x），
即函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是x=1，
∵導(dǎo)函數(shù)f′（x）滿足f′（x）＞xf′（x），
∴f′（x）（1-x）＞0，
∴x＜1時(shí)，f′（x）＞0，x＞1時(shí)，f′（x）＜0，
即 f（x）在（-∞，1）上遞增，在（1，+∞）上遞減；
∵a∈（1，2），
∴0＜log₂a＜1；
∵f（0）=f（2），
∴f（2）＜f（log₂a）；
∵2³＞2＞1，
∴f（2^a）＜f（2），
∴f（2^a）＜f（2）＜f（log₂a）．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，考查了函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，是基礎(chǔ)的運(yùn)算題．