Question

6．已知向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為$\frac{π}{6}$，且$\overrightarrow a•\overrightarrow b=\sqrt{3}$，則$|\overrightarrow a-\overrightarrow b|$的最小值為$\sqrt{3}$-1．

Answer 1

分析 根據(jù)條件進行數(shù)量積的運算得到$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|=2$，可考慮求$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{|}^{2}$的范圍，從而便有$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{|}^{2}=|\overrightarrow{a}{|}^{2}+|\overrightarrow{|}^{2}-2\sqrt{3}$$≥4-2\sqrt{3}$，這樣便可得出$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|$的范圍，從而得出$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|$的最小值．

解答 解：根據(jù)條件：$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|cos\frac{π}{6}=\sqrt{3}$；
∴$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|=2$；
∴$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{|}^{2}={\overrightarrow{a}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{\overrightarrow}^{2}$=$|\overrightarrow{a}{|}^{2}+|\overrightarrow{|}^{2}-2\sqrt{3}≥2|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|-2\sqrt{3}$=$4-2\sqrt{3}$=$（\sqrt{3}-1）^{2}$，當|$\overrightarrow{a}$|=$|\overrightarrow|=\sqrt{2}$時取“=”；
∴$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|≥\sqrt{3}-1$；
∴$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|$的最小值為$\sqrt{3}-1$．
故答案為：$\sqrt{3}-1$．

點評 考查數(shù)量積的運算及其計算公式，對不等式a²+b²≥2ab的應用，注意判斷等號能否取到，完全平方公式的運用．