Question

2．如圖，過(guò)四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁形木塊上底面內(nèi)的一點(diǎn)P和下底面的對(duì)角線BD將木塊鋸開，得到截面BDEF．
（1）請(qǐng)?jiān)谀緣K的上表面作出過(guò)P的鋸線EF，并說(shuō)明理由；
（2）若該四棱柱的底面為菱形，四邊形BB₁D₁D是矩形，試證明：平面BDEF⊥平面A₁C₁CA．

Answer 1

分析 （1）此題實(shí)際上是在平面A₁B₁C₁D₁形上找到過(guò)點(diǎn)P的線段EF，EF∥BD；
（2）欲證明平面BDEF⊥平面A₁C₁CA，只需證得BD⊥平面A₁C₁CA．

解答 解：（1）在上底面內(nèi)過(guò)點(diǎn)P作B₁D₁的平行線分別交A₁D₁、A₁B₁于F、E兩點(diǎn)，則EF即為所作的鋸線．
在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，側(cè)棱BB₁∥DD₁，且BB₁=DD₁，
所以四邊形BB₁D₁D是平行四邊形，B₁D₁∥BD．
又平面ABCD∥平面A₁B₁C₁D₁，平面BDFE∩平面ABCD=BD，平面BDFE∩平面A₁B₁C₁D₁=EF，
所以EF∥BD，
從而EF∥B₁D₁；
（2）證明：由于四邊形BB₁D₁D是矩形，所以BD⊥B₁B．
又A₁A∥B₁B，
∴BD⊥A₁A．
又四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是菱形，
∴BD⊥AC．
∵AC∩A₁A=A，AC?平面A₁C₁CA，A₁A?平面A₁C₁CA，
∴BD⊥平面A₁C₁CA．
∵BD?平面BDFE，
∴平面BDFE⊥平面A₁C₁CA．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了棱柱的結(jié)構(gòu)特征和平面與平面垂直的判定．解題時(shí)利用了“如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直”證得（2）的結(jié)論．